Área de polígonos regulares.

• Cualquier polígono regular está conformado por tantos triángulos isósceles congruentes como número de lados tiene el polígono.
• Por ejemplo, el pentágono se puede dividir en cinco triángulos congruentes y el octágono en ocho. 
• La medida de la base de cada triángulo corresponde a la medida del lado del polígono. La medida de la altura de cada triángulo se denomina apotema y se simboliza con la letra a.
• El área del polígono se calcula sumando las áreas de los triángulos que lo conforman. 
• El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto de su perímetro por la apotema.

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Área de polígonos y triángulos.

Rectángulo.

Cuadrado.

Rombo.

Romboide.

Trapecio.

Trapezoide simétrico.

Triángulo.

Fórmula de Herón.

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Términos algebraicos.

• Las expresiones algebraicas que involucran multiplicación entre las constantes y las variables, se denominan términos algebraicos.
• Por ejemplo, 5xy,  -2abc son términos algebraicos.
• Cada término algebraico consta de: Signo, coeficiente, exponente y parte literal.

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Expresiones algebraicas.

El álgebra es una rama de la matemática que permite representar situaciones reales de manera simbólica.

Utiliza números y letras.

En una expresión algebraica se indican números conocidos y desconocidos.

A los números conocidos o determinados se les denomina constantes.

A los números desconocidos, cuyo valor puede cambiar, se les denomina variables.

2 ( x + z ), es ejemplo de una expresión algebraica.

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Triángulo rectángulo.

• Tiene un ángulo que mide 90°, al cual, se le denomina ángulo recto.
• A los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos.
• Al lado opuesto al ángulo recto se le llama hipotenusa.
• En todo triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras.

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Clasificación de triángulos.

• Los triángulos se clasifican, según la medida de sus lados, en: Equilátero, Isósceles y Escaleno.
• Los triángulos se clasifican, según la medida de sus ángulos, en: Acutángulo, Obtusángulo y Rectángulo.
• Equilátero: Todos sus lados tienen la misma medida.
• Isósceles: Solo dos de sus lados tienen la misma medida.
• Escaleno: Todos sus lados tienen diferente medida.
• Acutángulo: Todos sus ángulos son agudos.
• Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso y dos ángulos agudos.
• Rectángulo: Tiene un ángulo recto y dos agudos.

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Propiedades de los triángulos.

• La suma de sus tres ángulos internos es 180°. 
• Al lado de mayor longitud se opone el ángulo de mayor amplitud, y al lado de menor longitud se opone el ángulo de menor amplitud. 
• La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de dos ángulos interiores no adyacentes. 
• La medida de cada uno de los lados es menor que la suma de las medidas de los otros dos lados.

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Triángulos.

• Un triángulo es la región de plano limitada por tres rectas que intersecan dos a dos.
• Los elementos de un triángulo son: Vértices, lados, ángulos interiores y ángulos exteriores.

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Ángulos.

Un ángulo se forma al unir dos semirrectas, que tienen en común el punto de origen. Las semirrectas son los lados del ángulo y el punto en común es el vértice.

Se nombra el vértice con una letra mayúscula.

Se nombran tres puntos, un punto en cada semirrecta y el vértice, de tal forma que la letra que representa el vértice, siempre quede escrita entre las otras dos. 

Los ángulos se pueden clasificar según su medida, según la suma de sus medidas o de acuerdo con su posición.

Según su medida pueden ser: Agudo, recto, obtuso, llano, cóncavo y completo.

Según su posición, pueden ser: Consecutivos, adyacentes y opuestos por el vértice.

Según la suma de sus medidas, pueden ser: Ángulos complementarios y ángulos suplementarios.

Angulo agudo: Mide menos de 90 grados.

Angulo recto: Mide 90 grados.

Angulo obtuso: Mide más de 90 grados y menos de 180 grados.

Angulo llano: Mide 180 grados.

Angulo cóncavo: Mide más de 180 grados y menos de 360 grados.

Angulo completo: Mide 360 grados.

Ángulos consecutivos: Dos ángulos son consecutivos si solamente tienen en común el vértice y un lado.

Ángulos adyacentes: Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y están en la misma recta.

Ángulos opuestos por el vértice: Dos ángulos son opuestos por el vértice si los dos lados de uno de ellos son las prolongaciones del otro.

Ángulos complementarios: Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°.

Ángulos suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°.

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Conceptos fundamentales de probabilidad.

Experimento aleatorio es aquel en el cual se conoce el procedimiento que se va a seguir y los posibles resultados, pero no se puede predecir con certeza el resultado. Se tiene que realizar el experimento para llegar a un resultado.

Espacio muestral es el conjunto S, debe ser construido de tal forma que indique claramente todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Evento es un subconjunto del espacio muestral. Está formado por uno o más elementos del espacio muestral.

La población está conformada por todos los elementos con los cuales se puede conformar un posible resultado del espacio muestral. 

La muestra corresponde al número de elementos necesarios para formar un evento del espacio muestral.

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Los deciles.

• D1 = Valor que deja por debajo el 10% de los datos y por encima el 90% restante.
• D2 = Valor que deja por debajo el 20% de los datos y por encima el 80% restante.
• Y así sucesivamente, hasta el D9 que deja por debajo el 90% de los datos y por encima el 10% restante.

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Gráfica de los cuartiles.

Para calcular el valor de los cuartiles se ordenan los datos de menor a mayor.

Se calcula el valor de la mediana quien representa el cuartil dos.

Luego, se considera la primera mitad de los datos y se calcula la mediana, la cual corresponderá al       primer cuartil.

Igualmente, se considera la segunda mitad de los datos y se calcula la mediana, este valor     corresponde al tercer cuartil.                

    

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Medidas de posición.

Las medidas de posición son medidas que dividen a los datos en partes porcentualmente iguales.

Las medidas de posición son: cuartiles y deciles.

Los cuartiles son las medidas que dividen un conjunto de datos en cuatro partes iguales.

Los deciles son valores que dividen en 10 partes iguales el conjunto de datos.

En los deciles, cada parte representa el 10% de los datos. Se simbolizan como D1, D2,… D9.

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Rectas perpendiculares.

• Dos rectas son perpendiculares cuando al multiplicar el número de la pendiente de cada recta da como resultado -1.
• Dos rectas son secantes cuando no son paralelas y se cortan (cruzan) en un punto común.

Ejemplo:

Determinar gráficamente si las rectas y = 4x + 6  ;  y = - 1/4 x + 2 son perpendiculares.

Solución:

• Multiplicar (4) (- 1/4) = -1

Representación gráfica:

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Rectas paralelas.

• Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.
• Dos rectas en el plano cartesiano pueden ser paralelas, perpendiculares o secantes.

Ejemplo:

La recta y = 3x - 10 es paralela a la recta y = 3x + 2 ; porque tienen la misma pendiente. (3).
La recta y = 5x + 8 no es paralela a la recta y = 2x + 7 ; porque no tienen la misma pendiente. (5 y 2).

Ejemplo:

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Ecuación general de la recta.

• La ecuación de la recta, y = mx + b se conoce con el nombre de ecuación en forma explícita.
• Se le llama así, porque al ver la ecuación se puede determinar el número de la pendiente y el valor del y-intecepto. Por ejemplo: y = 2x + 6 ; la pendiente tiene valor 2 y la recta corta en el punto 6 al eje y.
• Partiendo de la forma explícita se puede determinar la ecuación general de la recta.
• Utilizando el ejemplo anterior,  y = 2x + 6 (forma explícita), se procede así:

• y = 2x + 6

• Se transponen término y se iguala a cero, y - 2x - 6 = 0

• Se ordenan los términos, - 2x + y - 6 = 0

• Se multiplica por -1 para cambiar la dirección de los términos, 2x - y + 6 = 0

• Ecuación general  2x - y + 6 = 0

• Ecuación explícita  y = 2x + 6

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Ecuación de la recta conociendo dos puntos de dicha recta.

Es la posición del punto A.



Es la posición del punto B.


Se remplazan los valores del punto A y del punto B, en la expresión algebraica.

• Luego de determinar la pendiente, se utiliza un punto de la recta ( A ó B).
• Se utiliza la ecuación de la recta (y = mx + b) y se despeja b.

Ejemplo:

Punto A = (2 , 2)
Punto B = (4 , 4)

Sustituir en:
 m = 1

Luego, y = mx + b (seleccionaremos el punto A)

2 = (1)(2) + b

0 = b ; la ecuación de la recta es: y = 1m + 0, o sea, y = m


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Ecuación de la recta a partir de un punto y la pendiente.

• Es otra forma de determinar la ecuación de una recta.
• Se proporciona el número de la pendiente. ( m ).
• Se proporciona un punto de dicha recta. (Pareja ordena x , y)
• No se conoce el valor del y-intercepto. ( b ).
• Utilizando la ecuación de la recta ( y = mx  +  b), se introducen los valores proporcionados.

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta que pasa en el punto (1 , 4) con pendiente 2.

Solución:

• Utilizar la ecuación: y = mx  +  b
• Sustituir: m = 2
• Sustituir: x = 1
• Sustituir: y = 4
• Se despeja b: y - mx = b
• (4) - (2 * 1) = b
• 2 = b

Respuesta: y = 2x + 2

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Medidas de tendencia central.

• Se conforma por: La media o promedio aritmético, la mediana y la moda.
• La media o promedio aritmético: es el punto de equilibrio de los datos proporcionados. Puede ser un número que no esté dentro de los datos proporcionados.
• La mediana: es el dato que divide en partes porcentualmente iguales a los datos proporcionados. Previamente, se debe ordenar los datos de menor a mayor.
• La moda: Es el dato que más se repite en los datos proporcionados.

Ejemplo:

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Tabla de frecuencias de un conjunto de datos.

• Primero: se determina el número de grupos que se debe construir (intervalos).
• Segundo: se determina el tamaño de cada intervalo.
• Tercero: se construyen los intervalos.

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Diagrama de tallo y hojas.

• Es una representación gráfica de datos.
• Los datos se clasifican según la expresión decimal que tiene cada uno. 
• Ejemplos: 
• dato 102, tallo 10, hojas 2, 
• dato 39, tallo 3, hojas 9, 
• dato 1012, tallo 101, hojas 2,
• dato 5, tallo 0, hojas 5, etc.

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La moda.

• Es una medida de tendencia central.
• Corresponde al rango de respuesta con mayor f.
• En un conjunto de datos, puede determinar 1 moda, 2 modas, varias modas o, ninguna.
• La moda se interpreta como la respuesta más probable, al plantear la misma pregunta, a un nuevo individuo de la población.

Prof. Luis González.

Tabla de frecuencias.

• Se agrupan las preguntas con las respuestas.
• Se elabora un resumen de los datos.
• Frecuencia absoluta, f, es la cantidad de datos o respuestas a la pregunta planteada.
• Frecuencia relativa, fr, es el resultado de dividir cada dato o respuesta entre el total de la columna f.
• La última columna de la tabla de frecuencias es la relación porcentual de cada dato o respuesta a la pregunta planteada.

Ejemplo:
Se pregunta a los alumnos de primero básico que tipo de transporte utiliza para llegar al colegio. Las opciones son: Carro, Bus, caminando.

Nota: las gráficas las desarrollaremos en clase, necesitas instrumentos de dibujo.

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Conceptos fundamentales de la estadística.

• Estadística: es la ciencia que estructura información, determinando características de un grupo de individuos, a partir de una o varias variables.
• Población: es el grupo de individuos que se va a analizar o estudiar.
• Muestra: de la población se toma un grupo de individuos, sobre los cuales se toma información para analizar.
• Variable estadística:  Se formula una pregunta que busca estudiar una característica en la población.
• Variable estadística cualitativa: Pregunta sobre gusto, opinión, preferencia, etc.
• Variable estadística cuantitativa: Pregunta con respuesta numérica. Se necesita una escala para medirla.
• Caracterización: es el proceso de recolectar las respuestas de la población, ordena, clasificar, analizar y determinar conclusiones sobre el comportamiento de la población.
• Para caracterizar una variable de cualidad, se utilizan: tablas de frecuencias, representación gráfica y la moda.
• Para caracterizar dos variables cualitativas, se utilizan: tablas de doble entrada o de contingencia y representación gráfica.

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Pendiente de la recta.

Diagrama sagital y los elementos de la función.

Definición de función y construcción del diagrama sagital.

Tabla de valores, gráfica y expresión algebraica de la función.

Expresión algebraica y tabla de valores.

Pendiente de la recta

• La pendiente de una recta es un número que indica la inclinación de la recta.
• En la expresión que indica la función y = mx + b, el valor m recibe el nombre de pendiente.
• Gráficamente, la pendiente muestra el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal.

Representación de las funciones.

Elementos de una función.

Ejemplo:

Función

• Relación entre 2 conjuntos.
• Conjunto x, y conjunto y.
• A cada elemento del conjunto x le corresponde un único elemento en el conjunto y.

Ejemplo:

Sustracción de fracciones algebraicas con diferente denominador.

Efectúa los pasos siguientes:

1. Determina el mínimo común múltiplo de los denominadores (ya lo sabes hacer).
2. Convierte las fracciones dadas en fracciones equivalentes.
3. Resta los términos dados en el numerador (¡términos semejantes!).
4. El o los términos del numerador, deben ser factorizados.
5. Simplifica la fracción.
6. Haz terminado. Felicitaciones.

Ahora, practícalo!

Prof. Luis González.

Adición de fracciones algebraicas con diferente denominador.

Efectúa los pasos siguientes:

1. Debes determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores, recuerda como se obtiene el mínimo común múltiplo de monomios. También, observa los denominadores porque pueden ser polinomios y deberás factorizar; ¿lo recuerdas?. 
2. Haz logrado colocar denominador común en cada fracción algebraica y tienes fracciones algebraicas equivalentes.
3. Suma los términos semejantes (que aparecen en el numerador) y luego, coloca el denominador común.
4. Simplifica la fracción.
5. FIN. (¡ya era hora!)

Felicitaciones, ahora práctica.

Prof. Luis González.

Cuerpos redondos.

Son sólidos que tienen superficies curvas o superficies planas y curvas, por ejemplo: El cilindro, el cono y la esfera.

Cilindro: tiene dos caras planas circulares y una superficie curva; pueden ser rectos u oblicuos. Tiene bases, altura y radio.

Bases: Están en los extremos de la figura y son las dos caras planas y circulares (son las tapaderas, si quieres llamarles así).

Altura: Es la medida de la superficie curva (es la distancia que hay de un extremo a otro, de una cara a otra).

Radio: Cada base, como los extremos son 2 figuras planas y circulares, tienen la misma medida de radio.

Cono: Tiene una superficie curva y una cara plana circular; pueden ser rectos u oblicuos. Tiene base, vértice, altura y radio.

Base: Es la cara plana circular.

Vértice: Es el punto ( o punta si quieres llamarle así), que se forma al otro extremo de la cara plana circular.

Altura: Es la medida existente entre la cara plana circular y el vértice (o punta).

Radio: La cara plana circular debe tener radio.

Esfera: Tiene una sola superficie curva; tiene centro y radio. No tiene ninguna parte plana.

Centro: El es punto que se encuentra a igual distancia de cualquier punto de la superficie de la esfera.

Radio: Es la distancia del centro de la esfera hacia cualquier punto de su superficie.

Construye un cilindro, un cono y una esfera.

Prof. Luis González.

Sólidos.

Es un cuerpo geométrico (tiene volumen) limitado por superficies planas o curvas.

Hay sólidos que están conformados por partes de forma de polígonos (triángulos, rectángulos, cuadrados, etc.) y se les llama poliedros.

Los poliedros tienen las partes siguientes:

1. Caras: Son los polígonos (triángulos, cuadrados, rectángulos) que limitan o dan forma al poliedro.
2. Aristas: Cada polígono (triángulos, cuadrados, rectángulos) que dan forma al poliedro, tienen lados, esos lados son las aristas del poliedro.
3. Vértices: Son los puntos donde se unen varias aristas. Por ejemplo, el vértice de uno de los lados del triángulo unido con el vértice de uno de los lados de un rectángulo, unido con el vértice de uno de los lados de un cuadrado. Forman una punta, si le quieres llamar así. 

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Sustracción de fracciones algebraicas con igual denominador.

Procede de la forma siguiente:

1. Como las fracciones tienen el mismo denominador, debes restar únicamente los polinomios del numerador (parte de arriba de la fracción). Recuerda que se restan únicamente términos semejantes.
2. El término del denominador (parte de abajo de la fracción) solo se copia.
3. Factoriza el polinomio resultante en el numerador.
4. luego, debes simplificar la fracción algebraica.
5. Haz terminador.

Sigue practicando.

Prof. Luis González.

Adición de fracciones algebraicas con igual denominador.

Observa antes de empezar a operar la solución, los siguientes aspectos.

1. Las fracciones algebraicas que se van a sumar, tienen el mismo denominador (la parte de abajo de la fracción).
2. Por lo tanto, únicamente debes sumar los polinomios descritos en el numerador (la parte de arriba de la fracción).
3. Recuerda que para sumar polinomios, se suman solamente aquellos que son semejantes (parte literal igual).
4. Luego se factoriza el polinomio resultante en el numerador.
5. Por último, simplifica la fracción hasta su mínima expresión.
6. Haz terminado. Felicitaciones.

Prof. Luis González.

Simplificación de fracciones algebraicas cuyos numerador y denominador son polinomios.

Te recomiendo los pasos siguientes para resolver fracciones algebraicas.

1. El primer paso es importante y fundamental, debes factorizar el polinomio del numerador y el polinomio del denominador.
2. El numerador y el denominador han sido factorizados, tenemos los factores primos de cada polinomio descrito, podrás observar que hay un factor primo que se repite tanto en el numerador como en el denominador.
3. Divide el numerador y el denominador entre el factor primo que se repite. También, puedes simplemente, eliminar el factor común que se repite tanto en el numerador como en el denominador. Te dará el mismo resultado, aplicando uno u otro procedimiento.
4. Felicitaciones, haz simplificado correctamente, fracciones algebraicas.

Sigue practicando.

Prof. Luis González.

Simplificación de fracciones algebraicas cuyo numerador y denominador son monomios.

Te recomiendo los pasos siguientes para resolver correctamente fracciones algebraicas.

1. Observa el coeficiente de ambos monomios y determina si tienen factor común.
2. Una vez determines el factor común, divide cada coeficiente entre dicho factor.
3. La parte literal se opera aplicando la propiedad del cociente de potencias de igual base. Se copia la base y se restan los exponentes.
4. Si el resultado de la resta de los exponentes es positivo la variable debes dejarla en el numerador de la fracción, caso contrario (si es negativo) debes colocarla en la parte del denominador (pero la variable se escribe con exponente positivo)
5. Fin.

Práctica los pasos anteriores y me cuentas como te fue.

Prof. Luis González.

Recta secante, tangente y exterior.

La línea recta SECANTE es aquella que corta a la CIRCUNFERENCIA en dos puntos distintos.

La línea recta TANGENTE es aquella que tiene solamente un punto en común con la CIRCUNFERENCIA.

La línea recta EXTERIOR es aquella que no tiene ningún punto en común con la CIRCUNFERENCIA, por lo tanto no tienen ninguna relación.

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Circunferencia y círculo.

La circunferencia delimita el círculo. Es decir, todos los puntos que integran al círculo (parte llena) no rebasan la línea conformada por los puntos que conforman la circunferencia. Sabemos todos que en un círculo existe una punto llamado CENTRO y que de él hacia los puntos de la circunferencia existe una distancia llamada RADIO.

También podemos decir que si la línea formada por el RADIO se prolonga en dirección opuesta, hasta llegar al otro extremo y tocar la línea de la circunferencia, obtendremos otra medida igual al RADIO. Estas dos medidas conforman lo que se llama DIÁMETRO.

La CUERDA es aquella línea que en sus extremos toca la línea formada por la circunferencia, pero la característica importante es que la CUERDA no pasa por el punto llamado CENTRO.

El corte que hacen los puntos extremos de la CUERDA en la CIRCUNFERENCIA forman el ARCO.

Prof. Luis González.

Bienvenidos, estaré compartiendo información, criterios, comentarios y demás, relacionado con el aprendizaje de las ciencias exactas.