Rectas perpendiculares.

• Dos rectas son perpendiculares cuando al multiplicar el número de la pendiente de cada recta da como resultado -1.
• Dos rectas son secantes cuando no son paralelas y se cortan (cruzan) en un punto común.

Ejemplo:

Determinar gráficamente si las rectas y = 4x + 6  ;  y = - 1/4 x + 2 son perpendiculares.

Solución:

• Multiplicar (4) (- 1/4) = -1

Representación gráfica:

Prof. Luis González.

Rectas paralelas.

• Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.
• Dos rectas en el plano cartesiano pueden ser paralelas, perpendiculares o secantes.

Ejemplo:

La recta y = 3x - 10 es paralela a la recta y = 3x + 2 ; porque tienen la misma pendiente. (3).
La recta y = 5x + 8 no es paralela a la recta y = 2x + 7 ; porque no tienen la misma pendiente. (5 y 2).

Ejemplo:

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Ecuación general de la recta.

• La ecuación de la recta, y = mx + b se conoce con el nombre de ecuación en forma explícita.
• Se le llama así, porque al ver la ecuación se puede determinar el número de la pendiente y el valor del y-intecepto. Por ejemplo: y = 2x + 6 ; la pendiente tiene valor 2 y la recta corta en el punto 6 al eje y.
• Partiendo de la forma explícita se puede determinar la ecuación general de la recta.
• Utilizando el ejemplo anterior,  y = 2x + 6 (forma explícita), se procede así:

• y = 2x + 6

• Se transponen término y se iguala a cero, y - 2x - 6 = 0

• Se ordenan los términos, - 2x + y - 6 = 0

• Se multiplica por -1 para cambiar la dirección de los términos, 2x - y + 6 = 0

• Ecuación general  2x - y + 6 = 0

• Ecuación explícita  y = 2x + 6

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Ecuación de la recta conociendo dos puntos de dicha recta.

Es la posición del punto A.



Es la posición del punto B.


Se remplazan los valores del punto A y del punto B, en la expresión algebraica.

• Luego de determinar la pendiente, se utiliza un punto de la recta ( A ó B).
• Se utiliza la ecuación de la recta (y = mx + b) y se despeja b.

Ejemplo:

Punto A = (2 , 2)
Punto B = (4 , 4)

Sustituir en:
 m = 1

Luego, y = mx + b (seleccionaremos el punto A)

2 = (1)(2) + b

0 = b ; la ecuación de la recta es: y = 1m + 0, o sea, y = m


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Ecuación de la recta a partir de un punto y la pendiente.

• Es otra forma de determinar la ecuación de una recta.
• Se proporciona el número de la pendiente. ( m ).
• Se proporciona un punto de dicha recta. (Pareja ordena x , y)
• No se conoce el valor del y-intercepto. ( b ).
• Utilizando la ecuación de la recta ( y = mx  +  b), se introducen los valores proporcionados.

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta que pasa en el punto (1 , 4) con pendiente 2.

Solución:

• Utilizar la ecuación: y = mx  +  b
• Sustituir: m = 2
• Sustituir: x = 1
• Sustituir: y = 4
• Se despeja b: y - mx = b
• (4) - (2 * 1) = b
• 2 = b

Respuesta: y = 2x + 2

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Medidas de tendencia central.

• Se conforma por: La media o promedio aritmético, la mediana y la moda.
• La media o promedio aritmético: es el punto de equilibrio de los datos proporcionados. Puede ser un número que no esté dentro de los datos proporcionados.
• La mediana: es el dato que divide en partes porcentualmente iguales a los datos proporcionados. Previamente, se debe ordenar los datos de menor a mayor.
• La moda: Es el dato que más se repite en los datos proporcionados.

Ejemplo:

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Tabla de frecuencias de un conjunto de datos.

• Primero: se determina el número de grupos que se debe construir (intervalos).
• Segundo: se determina el tamaño de cada intervalo.
• Tercero: se construyen los intervalos.

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Diagrama de tallo y hojas.

• Es una representación gráfica de datos.
• Los datos se clasifican según la expresión decimal que tiene cada uno. 
• Ejemplos: 
• dato 102, tallo 10, hojas 2, 
• dato 39, tallo 3, hojas 9, 
• dato 1012, tallo 101, hojas 2,
• dato 5, tallo 0, hojas 5, etc.

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La moda.

• Es una medida de tendencia central.
• Corresponde al rango de respuesta con mayor f.
• En un conjunto de datos, puede determinar 1 moda, 2 modas, varias modas o, ninguna.
• La moda se interpreta como la respuesta más probable, al plantear la misma pregunta, a un nuevo individuo de la población.

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Tabla de frecuencias.

• Se agrupan las preguntas con las respuestas.
• Se elabora un resumen de los datos.
• Frecuencia absoluta, f, es la cantidad de datos o respuestas a la pregunta planteada.
• Frecuencia relativa, fr, es el resultado de dividir cada dato o respuesta entre el total de la columna f.
• La última columna de la tabla de frecuencias es la relación porcentual de cada dato o respuesta a la pregunta planteada.

Ejemplo:
Se pregunta a los alumnos de primero básico que tipo de transporte utiliza para llegar al colegio. Las opciones son: Carro, Bus, caminando.

Nota: las gráficas las desarrollaremos en clase, necesitas instrumentos de dibujo.

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Conceptos fundamentales de la estadística.

• Estadística: es la ciencia que estructura información, determinando características de un grupo de individuos, a partir de una o varias variables.
• Población: es el grupo de individuos que se va a analizar o estudiar.
• Muestra: de la población se toma un grupo de individuos, sobre los cuales se toma información para analizar.
• Variable estadística:  Se formula una pregunta que busca estudiar una característica en la población.
• Variable estadística cualitativa: Pregunta sobre gusto, opinión, preferencia, etc.
• Variable estadística cuantitativa: Pregunta con respuesta numérica. Se necesita una escala para medirla.
• Caracterización: es el proceso de recolectar las respuestas de la población, ordena, clasificar, analizar y determinar conclusiones sobre el comportamiento de la población.
• Para caracterizar una variable de cualidad, se utilizan: tablas de frecuencias, representación gráfica y la moda.
• Para caracterizar dos variables cualitativas, se utilizan: tablas de doble entrada o de contingencia y representación gráfica.

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Pendiente de la recta.

Diagrama sagital y los elementos de la función.

Definición de función y construcción del diagrama sagital.

Tabla de valores, gráfica y expresión algebraica de la función.

Expresión algebraica y tabla de valores.

Pendiente de la recta

• La pendiente de una recta es un número que indica la inclinación de la recta.
• En la expresión que indica la función y = mx + b, el valor m recibe el nombre de pendiente.
• Gráficamente, la pendiente muestra el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal.

Representación de las funciones.

Elementos de una función.

Ejemplo:

Función

• Relación entre 2 conjuntos.
• Conjunto x, y conjunto y.
• A cada elemento del conjunto x le corresponde un único elemento en el conjunto y.

Ejemplo: